Ich habe im Internet Aufgaben einer Mathematik-Olympiade von 2015 entdeckt.
Das magische H
Die Aufgabe
An den Knotenpunkten eines Hs sollen sechs verschiedene natürliche Zahlen platziert werden, so dass entlang jeder Geraden die selbe Summe entsteht.
a) Welches ist die kleinstmögliche Summe? b) Welche Kombination enthält die Zahlen 2014 und 2015, wobei die Summe minimal ist?
1 2
| |
3--4
| |
5 6
Die Lösung
(1) s = x1 + x3 + x5
(2) s = x2 + x4 + x6
(3) s = x3 + x4
s = (1) + (2) - (3) = x1 + x2 + x5 + x6
Die kleinste Summe 4 verschiedener natürlicher Zahlen ist 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Da gemäß der Gleichung (3) die Summe ebenfalls die Summe von 2 weiteren
Zahlen seien soll, entfällt 10, da 10 - 5 = 5, aber alle Zahlen kleiner oder
gleich 5 bereits verwendet wurden.
Die nächste Summe wäre 1 + 2 + 3 + 5 = 11 und 11 - 4 = 7. Diese Kombination
geht also auf:
1 2
| |
7--4
| |
3 5
Da für den Aufgabenteil b) wieder die kleinste Summe gesucht ist, wäre die
Kombination 1 + 2 + 3 + 2014 = 2020 die kleinste Summe. Damit ergibt sich
aus 2020 - 2015 = 5. Mit etwas probieren erhält man die Verteilung:
2 1
| |
2015--5
| |
3 2014
Praktische Bedeutung
Diese Aufgabe wurde völlig abstrakt definiert. Wenn man sich das H einmal als Katamaran vorstellt, so könnte die Aufgabe so aufgefasst werden, dass die gleichmäßige Verteilung von Gewichten gesucht ist, wobei die Gesamtlast möglichst klein seien soll.
Coole Zahlen
Die Aufgabe
Es wird die kleinste Zahl mit 8 Stellen gesucht, so dass jeweils eine von zwei benachbarten Ziffern die andere teilt und alle Ziffern verschieden sind. Die Null kommt dabei nicht vor.
Warum kann es keine neunstellige Zahl geben?
Die Lösung
Wenn man in einer Tabelle die Beziehung »x kann Nachbar von y sein« darstellt ergibt sich folgende Übersicht. Die untere Hälfte benötigt man nicht, weil die Beziehung symmetrisch ist.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓
2 ✓ - ✓ - ✓ - ✓ -
3 ✓ - - - ✓ - - ✓
4 ✓ ✓ - - - - ✓ -
5 ✓ - - - - - - -
6 ✓ ✓ ✓ - - - - -
7 ✓ - - - - - - -
8 ✓ ✓ - ✓ - - - -
9 ✓ - ✓ - - - - -
In den Spalten sieht man, dass 5 und 7 als einzigen Nachbarn die 1 haben. Sie müssten demnach beide am Rand stehen und die 1 links bzw. rechts davon. Für die weiteren Ziffern verbleiben keine Plätze, weshalb eine Zahl höchstens eine der Ziffern 5 und 7 enthalten kann. Somit ist keine neunstellige Zahl möglich.
Da die achtstellige Zahl am kleinsten seien soll, muss die 7 entfallen. Es steht als 51 am Anfang oder 15 am Ende. Da die 9 als Nachbarn nur die 1 und die 3 hat, aber 1 bereits an die 5 gebunden ist, muss die 9 am anderen Ende gegenüber der 5 stehen: 93…15 oder 51…39. Die kleinste dieser beiden Zahlen ist 51…39.
Neben der 3 kann nur noch die 6 stehen und neben dieser nur noch die 2, so dass sich die Zahl 51…2639 ergibt. Die reduzierte Tabelle sieht so aus:
2 3 4 6 8
2 - ✓ ✓ ✓
3 - ✓ -
4 - ✓
6 -
8
Es bleibt nur noch 48 oder 84. Da die Zahl am kleinsten seien soll, ist die passende Kombination 51482639.