Algebra

Punkt auf Gerade mit gegebenem Abstand zu Ebene

Aufgabenstellung: Gegeben sind eine Gerade g = A + t * T mit dem Stützvektor A und dem Richtungsvektor T und eine Ebene ɛ = B + r * R + s * S mit dem Stützvektor B und den Richtungsvektoren R und S. Gesucht in ein Punkt P auf der Geraden, so dass dieser den Abstand L zur Ebene hat.

Vorüberlegung: (1) Auf der Ebene muss es einen Punkt Q geben, so dass die Strecke QP die Länge L hat; QP ist ein Vektor. (2) Der Vektor QP muss senkrecht auf der Ebene stehen, da für alle anderen Punkte Q' auf der Ebene sich ein rechtwinkliges Dreieck PQQ' (rechter Winkel bei Q) bildet und die Strecke PQ' (Hypotenuse) länger ist als die Strecke PQ (Kathete). Da der Abstand zwischen der Gerade und der Ebene immer die kürzeste Strecke ist, ist Q mit dem rechten Winkel zur Eben der einzig mögliche Punkt.

Bei der Berechnung muss man zwei Lösungen bestimmen, da sich ein Schnittpunkt über und einer unter der Ebene befinden: für den oberen muss man L und den unteren -L verwenden.

Berechnung: (1) Den Normalenvektor N der Ebene ɛ als Kreuzprodukt von R und S berechnen. Dieser Vektor auf die Länge L erweitert, ergibt vom Punkt Q aus den gesuchten Punkt P. Anschaulich bedeutet dies, dass die Ebene um L Längeneinheiten in Richtung von N verschoben wird. Diese verschobene Ebene schneidet die Gerade g genau im Punkt P.

ɛ + L / norm(N) * N = g

A + r * R + s * S + L / norm(N) * N = B + t * T

Daraus ergibt sich ein Gleichungssystem (3 Gleichungen, 3 Unbekannte r, s, t), mithilfe dessen sich t berechnen lässt (r und s müssen nicht berechnet werden). Mit t und der Geraden g lässt sich dann der gesuchte Punkt P ermitteln.

Lage und Abstand zweier Geraden

In der Ebene

In der Ebene \R^2 können sich zwei Geraden (1) schneiden, sie können (2) parallel zueinander verlaufen oder (3) identisch sein.

  1. prüfen, ob Richtungsvektoren linear abhängig, d. h. der eine ist ein Vielfaches des anderen, sind

    wenn sie linear abhängig sind, dann prüfen, ob der Ortsvektor der einen Geraden auf der anderen Geraden liegt, d. h. den Parameter r im Gleichungssystem P2 = P1 + r * R ermitteln. Wenn es eine Lösung für r gibt, dann sind sie (3) identisch, anderenfalls (2) parallel.

  2. Das Gleichungssystem P1 + r * R = P2 + s * S lösen (2 Gleichungen, 2 Unbekannte)

Am Taschenrechner: Nur das Gleichungssystem lösen lassen. Wenn es eine konrete Lösung für r und s gibt, dann schneiden (1) sich die Geraden. Wenn es true ergibt, d. h. alle Werte für r und s sind eine Lösung, dann sind sie identisch (2) und bei false, d. h. es gibt keine Lösung für die Gleichheit, sind sie parallel (3).

Im Raum

Zwei Geraden im Raum \R^3 können sich (1) schneiden, können (2) parallel zueinander liegen, können (3) identisch sein oder (4) windschief zueinander liegen.

Kreuzprodukt n der beiden Richtungsvektoren ist der Richtungsvektor einer neuen Geraden, die zu beiden Geraden senkrecht ist. Mit dem Punkt P1 auf der Geraden g1 und dem neuen Richtungsvektor kann man eine Geradengleichung h=g1 + t * n aufstellen, wobei P unbestimmt bleibt und einfach die Geradengleichung g1 verwendet wird. Diese neue Gerade h schneidet die Gerade g2 im Punkt P2, also in t-facher Länge von P1 aus, womit sich der Abstand t ergibt. Diesen berechnet man mithilfe des Gleichungssystems: g1 + t * n = g2

TODO: Lösungsweg

Winkel zwischen zwei Geraden

Skalarprodukt der Richtungsvektoren ist der Sinus des Winkels

Winkel zwischen Gerade und Ebene

Skalarprodukt des Normalenvektors der Ebene (Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren) und dem Richtungsvektor der Geraden ist der Sinus des Winkels

Umwandlung von Parameterform in Koordinatenform

Man erstellt ein Gleichungssystem mit

(x/y/z) = Stützvektor + r * Richtungsverktor1 + s * Richtungsverktor2

Für dieses lassen sich die beiden Unbekannten r und s eliminieren, so dass am Ende eine Gleichung mit x, y und z bleibt, die in die Koordinatenform gebracht werden kann.

Umwandlung von Koordinatenform in Parameterform

Vorüberlegung: Um eine Ebenengleichung in Parameterform aufstellen zu können, benötigt man drei Punkte.

Bei der Koordinatenform x+y+z=0 kann man leicht die drei Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (1. Schritt) ermitteln, indem man jeweils die zwei anderen Komponenten null setzt. Somit hat man drei Punkte, von denen man einen als Stützvektor (2. Schritt) verwendet und mithilfe der anderen beiden Punkte die zwei Richgungsvektoren (3. Schritt) bestimmt.

Analysis

Eigenschaften von Funktionen

TODO: Unterschied Stelle + Punkt

  • Definitionsbereich ist die Menge aller Zahlen x\in\R, für die die Funktion berechenbar ist. Umgekehrt formuliert: gehören all jene Zahlen nicht zum Definitionsbereich, für die die Funktion nicht definiert, d. h. nicht berechenbar, ist.
  • Wertebereich ist die Menge aller Zahlen x\in\R, die sich als Ergebnis bei der Berechnung ergeben können.
  • TODO Asymptoten
  • Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse; solve(f(x)=0, x) oder zeros(f(x), x)
  • Monotonie beschreibt das Verhalten der Funktion in einem bestimmten Bereich (oder für die komplette Funktion). Eine Funktion ist genau dann monoton fallend, wenn auf dem Graphen die Punkte rechts von einem Punkt unterhalb dessen liegen. Monoton steigend, wenn die Punkte rechts oberhalb des Punktes liegen.

  • lokale Extremstellen: Nullstellen der ersten Ableitung solve(d/dx(f(x))=0, x) und für die Ergebnisse jeweils die Werte der 2. Ableitung prüfen: d²/dx(f(x))|x=… (TODO: ausprobieren ob auch |x=… or x=… oder exp4list(d²/dx(f(x)), x=… or x=…) geht, dann kann man das vorherige Ergebnis kopieren) bei <0 ⇒ Maximum, bei =0 ⇒ Sattelpunkt, bei >0 ⇒ Minimum; siehe im Abschnitt Extremwerte

  • Wendepunkte: zweite Ableitung null setzen solve(d²/dx(f(x))=0, x) (TODO: Irgendwas gab es doch noch mit Überprüfen 3. Ableitung ≠0)

Lineare Funktionen

  • Allgemeine Form: f(x) = mx+n; Grundfunktion: f(x) = x
  • TODO Bild der Grundfunktion
  • Definitionsbereich der Grundfunktion: D=\R
  • Wertebereich der Grundfunktion: W=\R
  • Asymptoten der Grundfunktion: keine
  • Nullstellen der Grundfunktion: x=0
  • Schnittpunkt der Grundfunktion mit der y-Achse: y=0
  • Monotonie der Grundfunktion: streng monoton steigend

Quadratische Funktionen

TODO

Kubische Funktionen

TODO

Polynome mit geradem Exponenten

TODO

Polynome mit ungeradem Exponenten

TODO

Hyperbeln mit ungeradem Exponenten

TODO

Hyperbeln mit geradem Exponenten

TODO

Polynome mit Quotienten

TODO

Wurzelfunktion

TODO

Exponentialfunktion

TODO

Logarithmus

TODO

Sinus

TODO

Kosinus

TODO

Tangens

TODO

Übergang von Funktionen aus Grundfunktion

f(x) = a * g(b * x + c) + d

  • a: Stauchung/Streckung (TODO: entlang y-Achse?), Spiegelung an der x-Achse
  • b: Stauchung/Streckung (TODO: entlang x-Achse?), Spiegelung an der y-Achse
  • c: Verschiebung entlang der x-Achse, wobei c<0 nach rechts und c>0 nach links
  • d: Verschiebung entlang der y-Achse

Extremwerte

Immer wenn in der Aufgabenstellung (auch in der Algebra) nach einem Superlativ – einem Extrem – wie größtem, stärkstem, kleinstem u. s. w. gefragt ist, kann man diese mit der 1. Ableitung bestimmen.

Nullstellen der ersten Ableitung solve(d/dx(f(x))=0, x) und für die Ergebnisse jeweils die Werte der 2. Ableitung prüfen: d²/dx(f(x))|x=… (TODO: ausprobieren ob auch |x=… or x=… geht, dann kann man mit das vorherige Ergebnis kopieren)

für Minimum und Maximum gibt es auch fMin(f(x), x) bzw. fMax(f(x), x)

Ableitung

  • Ableitung ist die Verallgemeinerung des Anstiegs.
  • Allgemeine Form linearer Funktionen f(x) = mx+n; Anstieg m bei linearen Funktionen als 𝚫y/𝚫x = f(x₁) - f(x₀) / (x₁ - x₀); überall (für alle x) gleich; m<0 fallend, m>0 steigend, m=0 konstant
  • Ableitung bei in jedem Punkt anders: x<0 fallend unterschiedlich stark, x>0 steigend verschieden stark
  • Ableitung vereinfacht viele Dinge:
    • bei x=0 Wechsel von fallend zu steigend ist ein Extremwert; Wechsel von <0 zu >0 bei Nullstelle; Extremwerte bei Nullstellen
    • Veränderung des Weges pro Zeit ist die Geschwindigkeit, Veränderung der Geschwindigkeit pro Zeit ist Beschleunigung; Veränderung = Ableitung
  • da Ableitung überall anders, spricht man von Ableitung in einem Punkt; Anstriegsdreieck mithilfe von Nachbarpunkten; Differenzenquotient; Grenzwert für Abstand gegen Null ergibt die Ableitung in dem Punkt; für noch gut berechenbar mit konkreter Zahl und allgemein
  • Ableitungsregeln: (x^n)' = n*x^(n-1) und (a*f(x))' = a*f'(x); Konstanten ergeben sich aus x⁰
  • Anstiegstangente in einem Punkt
  • Beispiel Ableitung quadratischer Funktion, Reflektionsgesetz, Parabolspiegel (Parabel); Anwendungsbeispiele Satellitenschüssel, Scheinwerfer, Teleskope

Stochastik

Binomialverteilung

Bestimmen des Ablehnungsbereichs mit Signifikanzniveau s bei n Versuchen und der Einzelwahrscheinlichkeit p mit invBinom(s, n, p, 1) (Menü, 5: Wahrscheinlichkeit, 5: Verteilungen, C: Inverse Binomial). Wichtig ist der Haken bei Matrixform bzw. das letzte Argument 1, damit man bei den Ergebnissen die konkreten Wahrscheinlichkeiten sieht und den passenden Wert wählen kann.

Taschenrechner Ti-nspire

  • Alle Eingaben im Dokument löschen: Menü, 1: Aktionen, 5: Clear History
  • letztes Ergebnis in Variable speichern: ctrl, var ergibt ans →, Variablennamen oder auch f(x) eingeben