Vorbemerkung

  • boolesche Logik: Rechenregeln des engl. Mathematikers George Boole
  • binäre/dual = zwei, wie Dualismus (entweder oder; ja/nein; wahr/falsch; für/wider; pro/contra; an/aus) ⇒ Binärsystem beruht auf zwei Zuständen
  • System ist sehr primitiv, aber gleichzeitig sehr mächtig
    • primitiv weil: nur zwei Werte und zwei Operationen notwendig
    • mächtig weil: komplette Mathematik damit möglich ist
  • Grundlage für Computer

Elektromagnetismus und Relais

  • klassischer Magnet zieht bestimmte Metalle an
  • Elektromagnet zieht Metall nur dann an, wenn auch Strom fließt; ohne Strom keine Anziehung
  • bauen damit ein Bauelement genannt Relais: vom Eingang (E) führt ein Metalldraht zum Ausgang (A), der an einer Stelle getrennt ist. Daneben liegt der Elektromagnet (M), sodass dieser den Draht anziehen kann und die Verbindung von (E) und (A) herstellt/schließt. Das heißt: Nur wenn der Elektromagnet Strom bekommt, dann fließt zwischen Eingang und Ausgang der Strom. Sonst ist die Verbindung unterbrochen und es fließt kein Strom zwischen Eingang und Ausgang.

           o---------------
          /
    

    (E) o----o o------o (A) o | | (M)

    (E) o----o-o--------------o------o (A) o | | (M)

  • Bauelement (oder Bauteil) ist eine elektrische Komponente, die einen oder mehrere Eingänge und einen oder mehrere Ausgänge hat. Die Ausgänge haben in Abhängigkeit von den Eingängen Strom bzw. spricht man von Eingangssignalen und Ausgangssignalen.

  • mit der Herstellung und dem Einsatz solcher Bauteile beschäftigt sich die Elektrotechnik
  • größere Kombinationen der Bauteile mit einer bestimmten Funktion werden Schaltkreis/Chip genannt
  • Relais wurden für Computer bis ca. 1930/40 genutzt, danach Elektronenröhren und danach/heute Transistoren
  • Urban Legend: Bug=Käfer/Motte, die bei der Berechnung Fehler verursachten, daher Debugging als Fehlerbeseitigun; siehe Debugger

Zustände eines Relais'

  • Relais: Eingänge (E) und (M) und Ausgang (A) bzw. verwendet man allgemeine Bezeichnungen A, B, C
  • Strom aus/an: 0/1, Low/High, -/+, bei Boole wahr/falsch (true/false) oder yes/no

Aufgabe: Ermittle für die Kombinationen »E=0, M=0«; »E=0, M=1«; »E=1, M=0«; »E=1, M=1« die Zustände von A beim Relais.

E M A
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

kompakte Form der Darstellung:

A\B 0 1
0 0 0
1 0 1

* Frage: Wie könnte man sprachlich beschreiben, wann am Ausgang Strom fließt? * Antwort: Wenn an (E) und (M) Strom (bzw. ein Signal) anliegt.

Daher heißt dieses Bauelement auch UND-Verknüpfung.

Negation

  • Abwandlung des Relais:

           o--------------o------o (A)
          /
    

    (E) o----o o | | (M)

                          o------o (A)
    

    (E) o----o-o--------------- o | | (M)

Aufgabe: Ermittle die Zustände

E M A
0 0 0
0 1 0
1 0 1
1 1 0

kompakte Form der Darstellung:

A\B 0 1
0 0 0
1 1 0

* dauerhaft Strom an (E), d. h. (E) ist unbedeutend, (M) ist der einzige Eingang * (A) hat genau dann Strom (bzw. ein Signal), wenn (M) keinen Strom (bzw. kein Signal) hat = Negation

M A
0 1
1 0

Bauteile mit mehreren Bauteilen

  • Bauteile ähnlich wie Legosteine, zusammenstecken ergibt größere neue Bausteine, die man wiederum zusammenstecken kann

       +-------+
    

    (A) o--+ Neg +----+ +-----+ +-------+ | | | +---+ U | +-------+ | N +----+ Neg +----o (C) +---+ D | +-------+ +-------+ | | | (B) o--+ Neg +----+ +-----+ +-------+

Aufgabe: Ermittle den Zustand obigen Bauelements

A B C
0 0 0
1 0 1
0 1 1
1 1 1

Aufgabe: Beschreibe den Zustand von C in Abhängigkeit von A und B.

Bauelement heißt ODER-Verknüpfung

Addition von Binärziffern

  • schriftliche Addition von 26 und 47: 73 mit Übertrag 1
  • binär nur 0 und 1, daher schon Übertrag bei 1 und 1
A B A+B
0 0 00
0 1 01
1 0 01
1 1 10

* Addition ist also ein Bauteil mit zwei Eingängen A und B und zwei Ausgängen C und D, wobei D der Übertrag ist * zerlegen der Gleichung in zwei Teile: * Übertrag genau dann 1, wenn A und B 1 sind ⇒ UND-Verknüpfung * Einerstelle kompliziert, aber auch nur eine Zusammensetzung aus den bekannten Bausteinen: C = (nicht A und B) oder (A und nicht B)

Addition von Binärzahlen

  • mit mehreren Ziffern kann man Zahlen erstellen: 1001101
  • üblich sind 8 Stellen, wobei die Stelle als Bit und die Zahl als Byte bezeichnet wird; z. B. 1100 1010
  • für die Addition einer Stelle von zwei Binärzahlen verwendet man einen Baustein mit drei Eingängen Ziffer 1, Ziffer 2, Übertrag letzte Stelle und zwei Ausgängen Ergebnis, Übertrag nächste Stelle:

                          +---+
                          |   |
    

    (EÜ) o--------------------+ A +---------------------o (E) | D | +---+ +---+ D +-------+ +---+ | | (E) | | | (Ü) | | | (Z1) o----+ A +-------+ +---+ +---+ A +-----o (AÜ) | D | | D | (Z2) o----+ D +---------------------------+ D +-- | | (Ü) | | +---+ +---+

  • Aufgabe: Kann es einen Übertrag am 3. Baustein geben? Nein, da 1+1+1=11

Z1 Z2 E
0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1

* Addition von zwei Bytes mit acht solcher Bauteile, wobei am ersten Bauteil der Übertrag am Eingang einfach 0 ist, Übertrag des letzten Bauteils ergibt Übertrag der Addition der beiden Bytes

Fazit

  • Boolesche Logik nutzt die zwei Zustände/Ziffern 0/1 und Rechenoperationen UND, ODER, NEGATION; es gibt noch mehr XOR, NAND, NOR und weitere Regeln (De-morgansche Gesetze)
  • mithilfe der booleschen Logik lässt sich komplette Mathematik beschreiben
  • mit Strom an = 1, aus = 0 lassen sich entsprechende Grundbausteine bauen
  • komplexere Operationen lassen sich mit Bausteinen umsetzen, die aus Grundbausteinen zusammengesetzt sind; Lego- oder Baukastenprinzip
  • Computer nutzen viele (Milliarden) von diesen Bausteinen