Ich bin heute durch Spam auf eine interessante Eigenschaft der Zahl neun aufmerksam geworden, die mir bisher nicht bekannt war: Die wiederholte Quersumme aller Vielfachen von neun ist neun:

Die eigentliche Aufgabe war zwar etwas komplizierter gestellt, aber es lief auf die Vielfachen von neun hinaus:

  1. wähle eine Zahl zwischen 1 und 9: x
  2. multipliziere diese Zahl mit drei: 3 · x
  3. addiere drei dazu: 3 · x + 3
  4. multipliziere das Ergebnis mit drei: 3 · (3 · x + 3)
  5. bilde von dieser Zahl die Quersumme

Der Beweis könnte irgendwie über Induktion erfolgen, denn 9 = 10 - 1, sodass von n→n+1 die Zahl in der Zehnerstelle immer um eins wächst und in der Einerstelle um eins schrumpft, die Quersumme somit also gleich bleibt.

Damit ergibt sich auch, dass diese Eigenschaft für alle letzten Ziffern eines Zahlensystems gelten sollte, also auch für 1 im Binärsystem, die 7 im Oktalsystem und F im Hexadezimalsystem.

Für die Acht müsste sich wiederum eine Folge von 8, 7, 6, …, 1, 9 u. s. w. ergeben. Analog für die Sieben in Zweierschritten 7, 5, 3, 1, 8, 6 u. s. w. Als Quersumme kann niemand 0 herauskommen, da »wie man leicht sieht« – oh wie gern wollte ich schon immer mal diesen Spruch gebrauchen 😄 – nur die Null die Quersumme Null hat.

Das Muster ist also skizziert, die Beweise sollten »o. B. d. A.[^](ohne Beschränkung der Allgemeinheit) trivial« sein und bleiben dem geneigten Leser überlassen. 😉