Bei YouTube habe ich die Tage eine Methode zum Abschätzen von Quadratwurzeln entdeckt. Bisher war ich immer der Meinung, dass es mit $StartRoot 17 EndRoot$ , $StartRoot 42 EndRoot$ oder $StartRoot 264 EndRoot$ nicht weiter geht, aber auch ohne Taschenrechner (mit einigem Rechenaufwand) lässt sich das Ergebnis recht genau abschätzen. Dazu habe ich noch andere Verfahren entdeckt, um Wurzeln zu vereinfachen oder – sofern möglich – einfach zu berechnen.

Abschätzen von Wurzeln

In dem Video »Square root of ANY number instantly« bin ich das erste Mal auf die Methode gestoßen, die Wurzel einer natürlichen Zahl $x element-of double-struck upper N$ durch die folgende Formel abzuschätzen, wobei $n$ der ganze Anteil der Wurzel bzw. $n^{2}$ die nächst kleinere perfekte Quadratzahl ist:

\sqrt{k} \approx n + \frac{k - n^{2}}{2 n}

Eine richtige Herleitung dieser Beziehung habe ich noch nicht gefunden, nur so viel:

\begin{aligned} k & = n^{2} + k - n^{2} \\ = n^{2} + 2 n \frac{k - n^{2}}{2 n} \\ = n^{2} + 2 n \frac{k - n^{2}}{2 n} + {(\frac{k - n^{2}}{2 n})}^{2} - {(\frac{k - n^{2}}{2 n})}^{2} \\ k & \approx {(n + \frac{k - n^{2}}{2 n})}^{2} \end{aligned}

Beispiele

Hier einige Beispiele zur Anwendung der Formel:

\begin{aligned} \sqrt{10} & \approx 3 + \frac{10 - 9}{2 \cdot 3} = 3 \frac{1}{6} \approx 3, 166 > 3, 16227 \\ \sqrt{38} & \approx 6 + \frac{38 - 36}{2 \cdot 6} = 6 \frac{1}{6} \approx 6, 166 > 6, 16441 \\ \sqrt{2644} & \approx 51 + \frac{2644 - 2601}{2 \cdot 102} = 51 \frac{43}{102} \approx 51, 42157 > 51, 41984 \end{aligned}

Hier noch einige Ergebnisse zum Vergleich.

Zahl	Wurzel	Abschätzung	Fehler
10	3,16227	3,166	0,140 %
12	3,46410	3,5	1,036 %
15	3,87298	4,0	3,23 %
18	4,24264	4,25	0,173 %
42	6,48074	6,5	0,297 %
65	8,06225	8,0625	0,003 %
78	8,83176	8,875	0,490 %
88	9,38083	9,388	0,086 %
99	9,94987	10,0	0,504 %
122	11,04536	11,045	0,0008 %
143	11,95826	12,0	0,349 %

Beim Fehler $\frac{Abschätzung}{Wurzel}$ sieht man, dass dieser keine monotone Folge ist, aber allgemein kleiner wird. Für hinreichend große Zahlen liegt der Fehler bei 1 % oder darunter.

Fehlerabschätzung

Aus dem letzten Schritt der Herleitung ist zu erkennen, dass die Abschätzung um

{(\frac{k - n^{2}}{2 n})}^{2}

zu groß ist. Für ein festes @m(n) wird der Fehler also immer größer, je größer @m(k) ist: für 48 ist der Fehler größer als für 42 und ebenso für 37. Das heißt für Zahlen nur wenig größer als perfekte Quadratzahl ist die Abschätzung recht genau.

Für einen festen Abstand @m(k-n^2) wird mit wachsendem @m(n) der Fehler immer kleiner: für 37 ist die Abschätzung besser als für 26 und ebenso für 17; gleiches gilt für 86 und 41 und 30.

Grafische Darstellung des Fehlers bei der Abschätzung der Wurzel

Vereinfachen von Wurzeln

Im Video »Simplify Square Roots with Factor Trees in Algebra« habe ich noch eine Methode entdeckt, um Wurzeln zu vereinfachen. Dabei wird die Zahl in ihre (Prim-)Faktoren zulegt und aufgrund des Produktes kann man einige Anteile – die Quadratzahlen sind – herausholen.

\begin{aligned} \sqrt{1200} & = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5} \cdot \sqrt{3 \cdot 4} = 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3 \cdot 4} = 10 \cdot \sqrt{12} \end{aligned}

Im Video wird dies bildlicher mit Pärchen beschrieben, aber das Prinzip ist, die Zerlegung der Zahl in ein Produkt von Quadratzahlen. Dieses Verfahren lässt sich auch auf Kubikwurzeln und Wurzeln höheren Grades verallgemeinern.

Schriftliches Wurzelziehen

Ähnlich wie es die schriftliche Division gibt, bei der man durch schrittweise Division und Subtraktion von Teilen die Lösung ermittelt, gibt es auch ein solches Verfahren für das Wurzelziehen. Da Wurzeln aber sehr häufig unendliche Dezimalbrüche sind, muss man dieses Verfahren an einer geeigneten Stelle abbrechen. Die Produkte, die man in den Schritten bilden muss, werden auch immer größer und unhandlicher.

Beschrieben und vorgeführt wird das Verfahren recht gut in den Videos »Take Any Square Root by Hand« und »Finding Square Roots: Division Method«.

die Zahl in Zweiergruppen von der Einerstelle an beginnend gliedern
für die erste Gruppe die Zahl ermitteln, deren Quadrat kleiner ist als die Zahl; dies ist die erste Stelle des Ergebnisses
die Differenz zwischen dem Quadrat und der Zahl bilden und um die nächste Gruppe ergänzen
das bisherige Ergebnis verdoppeln und mit 10 multiplizieren, für diese Zahl wird dann die Einerstelle gesucht, sodass man die Zahl mit dieser Ziffer multiplizieren kann und das Ergebnis noch kleiner ist als der bisherige Rest; diese Ziffer ist die nächste Ziffer des Ergebnisses
die Differenz des Produktes und des Rests bilden, diese um die nächste Gruppe ergänzen und diese letzten beiden Schritte so lange wiederholen, bis das Ergebnis hinreichend genau ist

Für das Finden der Ziffer kann man einfach die Zahl aufrunden und das Ziel dadurch dividieren.

Wurzelberechnung mit indischer Mathematik

Durch zahlentheoretische Betrachtungen (Vedische Rechenmethoden) kann man die Berechnung von Wurzeln von perfekten Quadratzahlen (Zahlen deren Wurzel eine natürliche Zahl ist) vereinfachen. Im Video »Finding Square and Square Roots Using Vedic Maths« wird diese Methode erklärt.

Betrachtet man die Quadrate der Zahlen von 1 bis 10, so sieht man, dass für die Einerstelle der Quadrate nicht die Ziffern 2, 3, 7 und 8 vorkommen. Dies lässt sich auch für alle Zahlen größer 10 verallgemeinern, denn mit der binomischen Formel @m((10+n)^2 = 100+20\cdot n + n^2) zeigt sich, dass die Einerstelle der Quadratzahl die gleich ist. Für alle Zahlen gilt also, dass sie keine perfekte Quadratzahl sind, wenn sie auf 2, 3, 7 oder 8 enden.

Weiterhin kann man erkennen, dass die Einerstellen der Quadratzahlen symmetrisch zur 5 sind, d. h. das Quadrat von 1 und 9 endet auf 1, das von 2 und 8 auf 4 u. s. w. Nachweisen lässt sich dies wiederum mit der binomischen Formel @m((10-n)^2 = 100 - 20n + n^2) – die Einerstelle der Quadratzahlen wird also von @m(n^2) bestimmt.

Somit lässt sich die Einerstelle der Wurzel bereits auf zwei Ergebnisse eingrenzen. Mit weiteren zahlentheoretischen Argumenten lässt sich die Lösung noch weiter einschränken und bestimmen: Da die Kandidaten immer symmetrisch zur 5 sind, kann man die leicht das Quadrat mit 5 bestimmen und schauen, ob das Ergebnis größer oder kleiner der Zahl ist.

Das Quadrat einer Zahl @m(10⋅a+5), die auf 5 endet, lässt sich leicht(er) mit dieser Formel bestimmen:

\begin{matrix} (10 \cdot a + 5)^{2} = 100 \cdot a^{2} + 20 \cdot a \cdot 5 + 25 = 100 (a^{2} + a) + 25 \end{matrix}