Allgemeiner Funktionsbegriff

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Als eine Funktion (oder Abbildung) bezeichnet man eine Vorschrift, die jedem Element des Definitionsbereichs genau ein Element des Wertebereichs zuordnet.

Endliche Funktionen

Schematische Darstellung

Schematische Darstellung einer Abbildung/Funktion

Beispiel I

Schematische Darstellung der Funktion f(x)=2x

Gegenbeispiel I

Dies ist keine Funktion, da nicht jedem Element des Definitionsbereichs ein Element des Wertebereichs zugeordnet ist.

Später ist diese Feinheit wichtig, da nicht alle Funktionen (z. B. \frac{1}{x}, √x) überall berechenbar sind, weshalb man den Definitionsbereich einschränken muss.

Gegenbeispiel II

Dies ist keine Funktion, da einem Element des Definitionsbereichs mehr als ein Element des Wertebereichs zugeordnet ist.

Beispiel II

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Als eine konstante Funktion bezeichnet man eine Funktion, die allen Elementen des Definitionsbereichs das selbe Element des Wertebereichs zuordnet.

Beispiel III – Schachbrett

Beispiel IV – Tafelwerk

Als Tafel wurde früher auch eine Tabelle bezeichnet; Wiktionary. Daher kommt der Name Tafelwerk als Sammlung von Tabellen.

Wertetabelle der Wurzelfunktion

Wertetabelle der Sinus- und Cosinusfunktion

Beispiel V – Abbe-Diagramm

TODO: Abbe-Diagramm einbinden

Allgemeine/unendliche Funktionen

schematische Darstellung und Wertetabelle nur für kleine (< 1 Mio.) und endliche (Problem mit ℝ) Mengen möglich

allgemeine Schreibweise von Funktionen:

Beispiel Gleichung Def.-B. Werteb.
I f: x↦2x o. f(x) = 2x ℕ o. ℝ ℕ o. ℝ
II g: x↦1 oder g(x) = 1 ℕ o. ℝ ℕ o. ℝ
III h: x↦2^x oder h(x) = 2^x ℕ o. ℝ ℕ o. ℝ

Aufgabe I

Zu den Wertetabellen jeweils die Funktionsgleichung, die fehlenden Werte, den DB und WB ermitteln und die Funktion grafisch skizzieren.

−2 −1 0 1 4 10
−2 0 10

Aufgabe II

−4 −2 −1 0 1 4 10
2 1 0 −2

Aufgabe III

−4 −2 −1 0 1 4 10
4 1 1 10

Aufgabe IV

−2 −1 0 1 4 6,25 9 16 25
1 2 4

Aufgabe V

−4 −2 −1 0 1,5 4 9
 

Aufgaben VI – von Schülern

Jeweils 2 Schüler denken sich eine Aufgabe aus und schreiben sie an die Tafel, alle anderen lösen sie. Ziel: Schüler müssen sich in die Aufgabenstellung eindenken.

Aufgabe VII – Polstelle

−4 −2 −1 0 1,5 4 9
 

Beispiel I – Digitales/Binäres Signal

Diese Aufgabe ist dazu gedacht, dass die Schüler die Folge erraten und um zu zeigen, dass es noch mehr als die hier gezeigten Funktionen gibt.

0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 1 1 0 1

Wichtige Eigenschaften von Funktionen

Motivation: »Wofür braucht man das im Leben?«

Das Prinzip Ausgangsmenge, Vorschrift, Ergebnis (Tafel: schematische Darstellung) taucht ganz oft im Leben auf: (Tafel: Anpassung der Definition + in schematischer Darstellung zuordnen)

Mathematische Funktionen nur stellvertretend für dieses Prinzip. Ziel: Anhand der (präzisen) Funktionen in der Mathematik soll die Kompetenz im Umgang mit Vorschriften und Regelwerken geübt werden.

Wichtig ist z. B. die drei Teile zu erkennen und zu trennen; zu erkennen, dass jede »Funktion« nur für einen bestimmten »Definitions-/ Geltungsbereich« angewendet werden darf: Diebstahl nicht mit der StVO, Zement+Sand+Wasser nicht für Rüherkuchenrezept

Eigenschaften von »Funktionen«:

Konstante Funktionen

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Als eine konstante Funktion bezeichnet man eine Funktion der Form f(x)=c mit c∈ℝ, die allen Elementen des Definitionsbereichs das selbe Element c des Wertebereichs zuordnet.

Nebenbemerkung: Hier zeigt sich das Baukastenprinzip der Mathematik, indem die Definition der konstanten Funktion auf der Definition der Funktion aufbaut.

Beispiel I

Wertetabelle

−5 −1 0 2 6
1 1 1 1 1

Grafische Darstellung

Gnuplot Produced by GNUPLOT 5.4 patchlevel 2 -2 2 4 6 8 -10 -5 5 10 x y gnuplot_plot_1

Funktionsgleichung

f(x) = 1

Beispiel II

Wertetabelle

−5 −1 0 2 6
−5 −5 −5 −5 −5

Grafische Darstellung

Gnuplot Produced by GNUPLOT 5.4 patchlevel 2 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -10 -5 5 10 x y gnuplot_plot_1

Funktionsgleichung

f(x) = −5

Wichtige Eigenschaften

Lineare Funktion

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Als eine lineare Funktion bezeichnet man eine Funktion der Form f(x)=mx+n, wobei der größte Exponent der Variablen x den Wert 1 hat und m,n∈ℝ mit m≠0 feste Werte sind. Die Grundfunktion lautet f(x)=x (m=1, n=0).

In der grafischen Darstellung (im Koordinatensystem) sind lineare Funktionen immer eine Gerade. Das heißt, zum Zeichnen sind nur zwei Punkte notwendig; einfach einsetzen, z. B. f(0) und f(1).

Der Wert n bestimmt den Schnittpunkt mit der y-Achse bzw. die Verschiebung entlang der y-Achse.

⇒ Illustration mit Geogebra Lineare Funktion.ggb (m ausblenden mit blauem Punkt)

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Als den Anstieg m einer linearen Funktion bezeichnet man die Änderung der Funktion entlang der y-Achse pro Änderung auf der x-Achse. Schreibt man m als gewöhnlichen Bruch Δy Δx , so kann man daran das Anstiegsdreieck ablesen: der Zähler Δy entspricht der Dreiecksseite entlang der y-Achse und der Nenner Δx entspricht der Dreiecksseite entlang der x-Achse.

⇒ Illustration mit Geogebra Lineare Funktion.ggb; zeigen, warum m=0 keine lineare Funktion ist, ist konstant

Lineare Funktionen (Mathe-Song) - YouTube

Wichtige Eigenschaften

Aufgabe I

Tabelle ausfüllen und in ein Koordinatensystem 4 Funktionen davon zeichnen. Die Ergebnisse dem Nachbarn zur Kontrolle geben.

m n ausführliche Fnkt. kompakte Fnkt. Monotonie Symmetrie
3 2 3·x+2 3·x+2 steigend
1 0 1·x+0 x steigend pkt (0,0)
2x
x+7
4 −3
−2x+0,5
fallend
fallend
fallend
steigend
steigend
steigend

Aufgabe II – Achsenschnittpunkte

Für mindestens die 4 gezeichneten Funktionen aus den vorherigen Übungen die NST und SS mit y-Achse berechnen und mit der Zeichnung vergleichen. Für die weiteren Funktionen mit dem Nachbarn vergleichen.

Motivation: Sachaufgaben

Exkurs: Verwirrende Sachaufgaben

Aufgabe III – Zinsen

Formel für Zinsberechnung und Kapital abfragen

»Ein Guthaben von 1 000 € wird zu einem Zinssatz von 2 % p. a. (ohne Zinseszins) angelegt.«

Aufgabe IV – Mannjahre

»Um den Klassenraum neu zu malern, benötigen zwei Schüler 120 Minuten. Mit vier Schülern sind es 80 Minuten.«

Aufgabe V

»Familie Schulz lässt beim jährlichen Herbstputz des Gartens die grüne Regentonne mit 500 Liter ab, um sie vor Frostschäden zu schützen. Bei vollständiger Öffnung fließen durch den Hahn 20 Liter pro Minute.«

Einschub: Prüfungsaufgaben im Internet

Beispiel I – Verschiebung des Rotationszentrum (fortgeschritten)

Bei der Variation von m für f(x)=mx drehte sich die Gerade um den Punkt (0,0). Wie kann man die Drehung um den Punkt (1,1) erreichen?

  1. Verschiebung der Geraden nach oben: Wie? n=1
  2. Verschiebung der Geraden nach rechts: (x-1)

⇒ f(x)=m(x-1)+1; Geogebra Lineare Funktion Verschiebung.ggb

Für zu Hause für Interessierte:

Übergang zu quadratischen Gleichungen, da man dort den Scheitelpunkt verschieben kann.

Quadratische Gleichungen

Wiederholung der allgemeinen Gleichung für konstante und lineare Funktionen. »Wie könnte man jetzt weitermachen?« ⇒ f(x)=ax²+bx+c quadratische Funktionen

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Als eine quadratische Funktion bezeichnet man eine Funktion der Form f(x)=ax²+bx+c, wobei der größte Exponent der Variablen x den Wert 2 hat und a,b,c∈ℝ mit a≠0 feste Werte sind. Die Grundfunktion lautet f(x)=x² (a=1,b=0,c=0).

⇒ Geogebra: 3 Schieberegler und die Funktion

Übungen

a b c allgem. Fnkt. kompakte Fnkt. Öffnung
1 0 0 1x²+0x+0 oben

Scheitelpunktsform

TODO

Nullstellenberechnung

pq-Formel

Polynome vom Grad n>2

»Wie könnte man nach konstanten, linearen und quadratischen Funktionen weitermachen?«

Umkehrfunktionen

Funktionstyp Typ der Umkehrfunktion
konstant n.def./x=…
linear linear
quadratisch Wurzel
Kubikwurzel
Exponentiell Logarithmus
Sinus Arcus sinus (sin^-1)
Cosinus Arcus cosinus (cos^-1)
Tangens Arcus tangens (tan^-1)
Hyperbel Hyperbel

Wurzelfunktion

TODO

Hyperbel

TODO

Potenzfunktionen

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Menge alle Funktionen der Form f(x)=ax^r mit a,r∈ℝ

Potenzfunktion – Wikipedia

Exponential- und Logarithmusfunktion

TODO

Trigonometrische Funktionen

TODO