Motivation von Textaufgaben

Text- oder Sachaufgaben sind kein reinmathematisches Thema, sondern ein Aufgabentypus, der sich quer durch alle Disziplinen zieht, weil ihm ein allgemeines Prinzip zugrunde liegt: Bei einer Textaufgabe wird ein realweltliches Problem in Form eines Textes (mit Worten) beschrieben und muss erst in die Fachsprache – hier Mathematik – übertragen werden, bevor es mit den dortigen Mitteln gelöst werden kann.

Für die Bearbeitung solcher Aufgaben sind zweierlei Kenntnisse erforderlich:

Kontextwissen der Aufgabenstellung, um die Kerninformationen im Text erkennen und deuten zu können – man muss sich im Fachgebiet der Aufgabenstellung auskennen; salopp gesagt, muss man »die Welt verstehen«
Kenntnisse der Möglichkeiten aus der Fachwelt (Mathematik, Physik, Programmierung, …), um das Problem darin beschreiben und lösen zu können – bildlich gesprochen muss man einen gut ausgestatteten Werkzeugkoffer haben und mit dessen Werkzeugen umgehen können.

Die Bearbeitung von Textaufgaben erfolgt grob in drei Schritten: ① relevante von irrelevanten Informationen unterscheiden und Reduktion auf das Wesentliche – Problemanalyse –, ② Übertragung/Transformation des Problems in die Fachwelt und ③ Bearbeitung des Problems mit den Werkzeugen der Fachwelt.

In der Mathematik könnte man dies so beschreiben, dass zuerst im Text die relevanten Informationen markiert werden (anfangs besser tatsächlich und später auch nur imaginär), danach werden diese Informationen als Gegeben und Gesucht mit Symbolen und Formeln aufgeschrieben und anschließend wird das Gesuchte durch eine Berechnung ermittelt.

Aber nicht nur in der Mathematik gibt es diesen Ablauf, sondern auch in vielen anderen Lebensbereichen:

Ein Schreiner für Messebau muss sich mit den Bedingungen, die auf einer Messe herrschen, auskennen, um die passenden Materialien und Konstruktionen auswählen zu können, damit der Messestand am Ende benutzbar und stabil ist, und er muss gute Werkzeuge besitzen und sie beherrschen, um auch tatsächlich den Stand bauen zu können.
Im Projektmanagement muss man zum einen die Wünsche des Kunden verstehen können – Kontextwissen – und dann überlegen, wie man sie in seiner jeweiligen Technik umsetzen kann. Ganz konkret muss man sich bei der Softwareentwicklung mit den Möglichkeiten der Programmierung auskennen, um entscheiden zu können, auf welche Weise man dem Kunden ein Programm umsetzt.
Auch ein Verkäufer durchläuft immer wieder diesen Prozess, wenn ein Kunde eine Beratung benötigt und ihm seinen Wunsch schildert. Im Spielwarengeschäft muss zum Beispiel der Verkäufer aus der Beschreibung des Kunden »Ich suche ein Brettspiel für mein vierjähriges Kind.« (mit allen Erzählungen, was das Kleine so angestellt hat und wie es aussieht) die relevanten Informationen heraushören und sich in seinem Warenangebot (Werkzeugkoffer) auskennen, damit er eine altersgerechte Empfehlung geben kann, die auch lieferbar ist.
Auch ein Mitarbeiter einer Support-Hotline muss bei einem Anruf aus den vielen Worten eines Kunden die relevanten Informationen herfiltern können, um ihm dann mit den ihm gegebenen Mitteln eine Lösung bieten zu können.

Die Fähigkeit relevante von irrelevanten Informationen unterscheiden zu können und sich in verschiedenen Disziplinen (Kundenwelt, Mathematik, Computertechnik u. s. w.) auszukennen ist im Leben Gold wert. Wer einen gut ausgerüsteten »Werkzeugkoffer« für verschiedene Disziplinen besitzt, wird viele Probleme lösen können. Aber diese Fähigkeit der Analyse und Transformation muss geübt werden, weshalb Textaufgaben auch häufig im Mathematikunterricht vorkommen. Durch die deutlichen Unterschiede zwischen der Beschreibung realweltlicher Probleme mit Worten und der Berechnung mit Formeln und Symbolen werden diese Fähigkeiten gut geschult.

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»Ein Händler kauft 75 kg Erdbeeren für insgesamt 198 € ein. Wie teuer muss er 1 kg verkaufen, wenn er daran 20 % verdienen will und mit einem Schwund von 3 kg rechnet?«

geg.:

E=75 kg (Erbeeren Einkauf)

S=3 kg (Schwund)

K=198€ (Einkaufskosten)

G=20 % (Gewinnmarge)

ges.: P (Verkaufspreis)

Beziehung:
$\begin{aligned} M & = E - S (effektiv gekaufte Erdbeermenge) \\ E & = (100 \end{aligned}$

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»Eine Kaffeerösterei soll 75 kg gerösteten Kaffee liefern. Wie viel Kilogramm Rohkaffee sind dazu nötig, wenn beim Rösten mit 18 % Gewichtsverlust zu rechnen ist?«

geg.:

K=75kg (Kaffee)

V=18 % (Verlust)

ges.: R (Rohkaffee)

Beziehung: K = R - R⋅V

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»Bei einem Stromanbieter gibt es zwei Tarife: Tarif A mit einer jährlichen Grundgebühr von 72 € und 17,2 ¢ pro kWh, Tarif B mit einer jährlichen Grundgebühr von 108 € und 15,8 ¢ pro kWh. Berechne für beide Tarife die Preis bei einem Jahresverbrauch von 500 kWh und 3000 kWh.«

geg.:

$\begin{aligned} G_{A} & = 72 € & (Grundgebühr Tarif A) \\ P_{A} & = 17, 2 \frac{¢}{k W h} = 0, 172 \frac{€}{k W h} & (Preis Tarif A) \\ G_{B} & = 108 € & (Grundgebühr Tarif B) \\ P_{B} & = 15, 8 \frac{¢}{k W h} = 0, 158 \frac{€}{k W h} & (Preis Tarif B) \\ V_{1} & = 500 k W h & (Verbrauch 1) \\ V_{2} & = 3000 k W h & (Verbrauch 2) \end{aligned}$

ges.:

$\begin{matrix} K_{1, A} (Kosten zum Verbrauch 1 mit Tarif A) \\ K_{2, A} (Kosten zum Verbrauch 2 mit Tarif A) \\ K_{1, B} (Kosten zum Verbrauch 1 mit Tarif B) \\ K_{2, B} (Kosten zum Verbrauch 2 mit Tarif B) \end{matrix}$

Beziehung:

$\begin{matrix} K_{n, t} = G_{t} + V_{n} \cdot P_{t} \end{matrix}$

Viele Aufgaben (auch im normalen Leben, nicht nur in der Mathematik) erscheinen unlogisch und kompliziert. Dennoch muss man lernen (und dies am besten durch positive Erfahrungen), dass diese Aufgaben auch zu bewältigen sind, obwohl sie auf den ersten Blick komisch und unlösbar erscheinen. Wichtig ist es, dabei Ruhe zu bewahren und mit Zuversicht (eventuell nach Schema F) loszulaufen. Es ist schlimmer, den Versuch nicht zu wagen und am Ende gar nichts zu haben, als beim Versuch zu scheitern.

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»Eine Mutter ist 21 Jahre älter als ihr Kind. In 6 Jahren wird das Kind fünfmal jünger sein als die Mutter. Wo ist der Vater?«

geg.: M (Alter der Mutter), K (Alter des Kindes)

ges.: V (Vater)

Beziehungen:

$\begin{aligned} M & = K + 21 \\ K + 6 & = \frac{M + 6}{5} \end{aligned}$

Man hat also zwei Gleichungen und zwei Unbekannte, womit das Gleichungssystem lösbar ist.

$\begin{aligned} K + 6 & = \frac{K + 21 + 6}{5} & I in II einsetzen, danach ⋅5 \\ 5 K + 30 & = K + 27 & | - 30 - K \\ 4 K & = - 3 & | : 4 \\ K & = - \frac{3}{4} \end{aligned}$

Eine negative Altersangabe klingt im ersten Moment wie ein falsches Ergebnis, aber im Kontext der Aufgabenstellung sind ein ¾ Jahr bzw. 9 Monate eine bekannte Größe, die auch erklärt, wo sich der Vater befindet.

Obwohl die Aufgabe auf den ersten Blick unlösbar erschien, hat sich doch mit dem Willen zu kämpfen und der notwendigen Zuversicht, dieses Rätsel lösen lassen. Oft kommt es bei Aufgaben weniger auf die Technik an, sondern mehr auf die mentale Einstellung, sich nicht abschrecken zu lassen und mit einem kühlen Kopf den Versuch zu wagen.

Prozentschreibweise und Verhältnisse

Prozentschreibweise

Bei der Prozentschreibweise geht es nur darum, Zahlen anders darzustellen, um sie besser erfassen zu können. Am eigentlichen Wert, mit dem gerechnet wird, ändert die Prozentschreibweise nichts. Im alltäglichen Umgang treten häufig Zahlen zwischen 0 und 1 – Anteile eines Ganzen – auf. Da Menschen aber besser mit ganzen Zahlen (1, 5, 25, …) umgehen können als mit gebrochenen Zahlen (0,01, 0,05, 0,25, …) und man sich auch der Übersichtlichkeit halber die vielen Nullen sparen will, hat man die Prozentschreibweise eingeführt.

Das Wort Prozent besteht aus zwei Teilen: pro und zent. Der zweite Teil ist von Zentimeter oder allgemein von den Vorsilben dezi, centi, milli bekannt und bedeutet hundertster Teil.1 Die Vorsilbe pro bedeutet so viel wie »bezogen auf«; ähnlich wie bei »Kilometer pro Stunde« oder »Euro pro Liter«. Zusammengenommen heißt Prozent also bezogen auf Hundertstel und wird mit dem Symbol % gekennzeichnet. Analog steht Promille für bezogen auf Tausendstel und wird mit dem Symbol ‰ gekennzeichnet.

Zur Erinnerung: dezi ist der zehnte Teil und milli der tausendste Teil ↩

Wenn man sich also auf den hundertsten (oder tausendsten) Teil einer Zahl beziehen will, muss man zur Umrechnung die Zahl mit Hundert (oder Tausend) multiplizieren, oder umgekehrt durch Hundert (bzw. Tausend) teilen:

Statt der Zahl 0,1 kann man also 10 %, statt 0,06 auch 6 % oder statt 0,004 auch 0,4 % (oder 4 ‰) schreiben. Als kleine Merkhilfe kann man sich an den Begriffen Euro und Cent orientieren: 0,1€ = 10¢, 0,06€ = 6¢ und 0,0004€ = 0,4¢.

gem. Bruch	dez. Bruch (€)	Prozent (¢)
⅟₁	1,0	100 %
⅟₁₀	0,1	10 %
⅟₁₀₀	0,01	1 %

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Trage folgende Werte in die Tabelle ein und ergänze jeweils die fehlenden Werte: ½, ¼, ⅕, ⁴⁄₅, ¾, ⅛, ⅓, 0,4, 5 %, 0,025, ³⁄₂, 2, 250 %, 4, 0,̅6, 0,6, 99,9 %, 47 %

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gem. Bruch dez. Bruch (€) Prozent (¢)

TODO

gem. Bruch	dez. Bruch (€)	Prozent (¢)
TODO

Die Zeilen für 100 %, 50 %, 33⅓ %, 25 %, 20 %, 10 % und 1 % muss man sich einprägen, da man aus diesen leicht durch Verdoppelung, Halbierung, Addition oder Subtraktion andere Werte berechnen kann. Zum Beispiel sind 5 % die Hälfte von 10 % – also 10 % durch 2 – oder auch 10 % von 50 % – sprich die Hälfte durch zehn teilen, was dem Verschieben der Kommastelle um eins entspricht. Ebenso sind 40 % das Doppelte von 20 % oder auch 50 % minus 10 %.

Auch kann man auf diese Weise leicht die Zahlen grob abschätzen: 19 % (oder auch 21 %) sind rund 20 % und somit ein Fünftel. 87 % (oder auch 92 %) sind rund ein Zehntel weniger als 100 % und durch zehn teilt man leicht durch die Verschiebung der Kommastelle. Für grobe Plausibilitätsprüfungen für eine Probe in der Arbeit genügen solche Überschlagsrechnungen, denn 60 % von 37 können weder 34 noch 1,2 sein.

Weiterhin muss man sich merken, dass über 100 % mehr als der Grundwert und kleiner als 100 % weniger als der Grundwert sind. 99 % von 242 können nie 243 (oder 269) sein und 120 % von 4 können nicht 2 sein.

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Als Hausaufgabe soll jeder 4 Beispiele für Prozentangaben im Alltag sammeln; entweder als Foto und aufschreiben. Die interessantesten Funde können dann in der nächsten Stunde besprochen werden.

Verhältnisse

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Als das Verhältnis V eines Wertes W zu einer Bezugsgröße B bezeichnet man den Quotienten V=W/B. Das Verhältnis wird auch als Quote oder Rate und die Bezugsgröße als Grundwert bezeichnet.

Da häufig der Wert kleiner als die Bezugsgröße ist, ergeben sich Verhältniswerte zwischen 0 und 1. Da Menschen jedoch besser mit ganzen, statt gebrochenen Zahlen umgehen können, ist die Prozentschreibweise hilfreich für eine bessere Verständlichkeit und Lesbarkeit.

Weitere Informationsquellen:

Quotient – Wikipedia

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4 Teilnehmer bezogen auf die Gesamtmenge 10 Personen sind 4/10=0,4=40 %

3 Tage eines Monats (30 Tage) sind 3/30=0,1=10 %

Ergebnisse der Umfrage zum Video als Beispiel

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»Wie groß ist der Anteil der Randteile bei einem Puzzle von 50×20?«

Hier muss man das Anzahl der Randteile zur Gesamtzahl ins Verhältnis setzen. Allerdings ist etwas knobeln bei dieser Aufgabe notwendig: Der Rand hat oben und unten zusammen 100 Teile. Links und rechts darf man aber die Ecken nicht mitzählen, da sie bereits mit der oberen und unteren Reihe gezählt wurden. Es ergeben sich so 100+2⋅18=136 Randteile. Insgesamt hat das Puzzle 1000 Teile womit die Randteilquote von $\frac{136}{1000} = 0,136 = 13,6 %$ .

Anmerkung: Später wird dieses Verhältnis bzw. diese Quote als Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Griff in die Puzzlekiste ein Randteil zu greifen, liegt bei 13,6 %. Unter idealen Bedingungen findet man mit 10 Griffen ein Randteil. Dazu später mehr im Themengebiet Stochastik.

Weitere Beziehungen

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TODO: Platz für die Aufgabe finden

Ziel: Informieren über Mietpreisbremse

§ 558 BGB Mietspiegel-Berechnung Online Jena

TODO: Aufgabe formulieren

Durch umstellen der obigen Gleichung erhält man Z=V·B, d. h. anhand des Verhältnisses V und der Bezugsgröße B kann man die Anzahl Z ermitteln.

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10 % von 100 sind 0,1⋅=10

25 % von 20 sind 0,25⋅20=5

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Sortiere folgende Getränke gemäß des darin enthaltenen Alkohols:

ein Doppelter: 4 cl Schnaps mit einem Alkoholgehalt von 40 %

ein Schoppen Wein: 200 ml Wein mit einem Alkoholgehalt von 12 %

ein Maß Bier: 1 l Bier mit einem Alkoholgehalt von 5 %

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Bier: 5 % von 1000 ml = 50 ml

Wein: 12 % von 200 ml = 24 ml

Schnaps: 40 % von 40 ml = 16 ml

Selbst eine Flasche Bier mit 0,5 l hat noch etwas mehr Alkohol als ein Schoppen Wein.

Allgemein gilt: Alkohol ist ab dem ersten Milliliter schädlich. Gegenteilige Studien beruhen auf einem Fehler in der Kontrollgruppe. Analog wie bei der Spinat-Eisen-Studie gilt der Grundsatz: »Traue keiner Statistik, die Du nicht selbst gefälscht hast.«

@aufg()

In Deutschland muss der Verkäufer 19 % des Verkaufpreises als Mehrwertsteuer an das Finanzamt abführen. Für Waren des täglichen Bedarfs gilt der verminderte Mehrwertsteuersatz von 7 %. Unter anderem zählen dazu auch Lebensmittel, weshalb in Restaurants beim Verkauf die Frage »zum Hieressen oder zum Mitnehmen« gestellt wird – die Mitnahme des Essens zählt als Lebensmittel, der Verzehr vor Ort als Dienstleistung und ist daher nicht ermäßigt.

Der lokale Waffeldealer verkauft eine einfache Waffel für 2,90 €. Wie viel muss er bei einem Restaurantbesuch und wie viel bei einem Mitnahmegeschäft jeweils an Steuern abführen? Wenn bei der Mitnahme für einen Karton noch 20 ¢ verlangt werden, ist dies fair?

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Der normale Steuerbetrag ist 2,90 €⋅0,19=0,551≈0,55 €. Der ermäßigte Steuerbetrag ist 0,07⋅2,90 €=0,203≈0,20 €. Der Waffeldealer spart also bei einem Mitnahmegeschäft 35 Cent Steuern, die die Kosten von 20 Cent für den Karton bereits abdecken.

@aufg()

Ziel: Recherche im Internet.

Jeder Schüler soll sich eines der Gewässer Ostsee, Nordsee, Todes Meer, Atlantik, Mittelmeer, Nudelwasser aussuchen und im Internet den Salzgehalt recherchieren. Hierbei muss die URL der Quelle notiert werden. Wie viel Gramm Salz enthalten 200 Liter dieses Gewässers?

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Ostsee: 1,8 %, 360 g, ostsee.de

Nordsee: 3,5 %, 700 g, ostsee.de

Todes Meer: 28 %, 5600 g, Wikipedia

Atlantik: 3,5 %, 700 g, pagewizz.com

Mittelmeer: 3,8 %, 720 g, Wikipedia

Nudelwasser: 1 %, 200 g, Quelle: spicenspoon.de

Ebenfalls durch umstellen der obigen Gleichung erhält man B=Z/V, d. h. die Bezugsgröße B lässt sich aus der Anzahl Z und dem Verhältnis V berechnen.

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3 % der Schüler entsprechen 6 Schülern ⇒ B=200

Letztes Jahr schien die Sonne an 190 Tagen. Dies entspricht 95 % des Vorjahres. ⇒ Im Vorjahr schien die Sonne an 200 Tagen.

@aufg()

finanzen.net und die Suche nach Aktien oder WKN vorstellen.

Jeder Schüler soll sich eine Aktie anhand des Namens oder der WKN auswählen und den Gewinn/Verlust in Euro und Prozenten nachprüfen.

Rechts neben dem Diagramm ist die Prozentangabe für den Gewinn/Verlust des gesamten Zeitraums vermerkt. Berechne anhand des aktuellen Kurses den Gewinn/Verlust für eine Aktie in dem Zeitraum.

Wie viel Gewinn/Verlust hätte man mit 50 Aktien gemacht? Wie viel sind 50 Aktien heute wert?

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AMD: 107,52€, -0,18€, -0,17 % (21. 01. 2022, Stuttgart)

$\frac{- 0.18 €}{107.52 €} \approx - 0.00167 = 0.17 %$

-0,17 %⋅107,52€=-0,0017⋅107,52€≈-0,18€

1 Jahr: 43,2 %

43,2 %⋅ 107,52€=0,432⋅107,52€≈46,45€

50⋅46,45€=2322,50€

50⋅107,52€=5376€

Formulierungen mit mehr und weniger

Bei Formulieren der Art »x % mehr« oder »ein Zuwachs/Aufschlag von x %« oder »eine Erhöhung um x %« geht es immer darum, dass zu einem Grundwert G ein Anteil dessen hinzukommt. Mathematisch formuliert heißt dies für den neuen Wert N:

N = G + x \cdot G = G \cdot (100 % + x) = G \cdot (1 + \frac{x}{100})

Der neue Wert wird also mit einem Faktor größer als eins bzw. größer als 100 % multipliziert und ist daher auch größer als der Grundwert.

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»Für die neue Ware wird ein Zuschlag von 10 % verlangt.« Somit beträgt ihr Wert 110 % dessen der alten Ware. Sind dies beispielhaft 50 €, so ist der Preis der neuen Ware 50€⋅110 % = 50€⋅1,1=55€.

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»Für den Deutschkurs wird dieses Jahr ein Zuwachs von 4 % verzeichnet.« Somit sind im Vergleich zum Vorjahr dieses Jahr 104 % Teilnehmer in dem Kurs. Waren es beispielsweise im vergangenen Jahr 25 Teilnehmer, so sind es dieses Jahr 25⋅104 % = 25⋅1,04 = 26 Teilnehmer.

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»Die Inflationsrate (oder kurz Inflation) beträgt 1,4 %.« Als Inflation bezeichnet man die durchschnittliche Preissteigerung aller Waren in einem Land; meist bezogen auf einen Zeitraum (Jahr, Monat oder Quartal) als Vergleich zwischen Beginn und Ende des Zeitraums oder auch im Vergleich zum gleichen Monat (oder Quartal) im Vorjahr.

Bei einer Inflation von 1,4 % kostet also ein Computer das 1,014-fache im Vergleich zu einem Jahr zuvor. Hat ein Computer im vergangenen Jahr 500 € gekostet, so musste ein Kunde dieses Jahr 500€⋅101,4 %=500€⋅1,014=507€ bezahlen.

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TODO: Bild vom Verkehrsschild Link Text

»Auf einem Verkehrsschild wird eine Steigung von 5 % angegeben.« Intuitiv (rein nach Bauchgefühl) könnte man annehmen, dass die Strecke vom unteren zum oberen Punkt einen Anstieg von 5 % hat. Wenn die Strecke entlang der Horizontalen also 750 m beträgt, so wäre der Höhenunterschied .

Allerdings ist die Definition dieser Prozentangabe auf dem Verkehrsschild laut Wikipedia wesentlich komplizierter: »Im Straßenverkehr gibt der auf einem Verkehrsschild angegebene Wert nicht die durchschnittliche Steigung der gesamten Strecke an, sondern die maximale Steigung, die auf dem Radabstand eines die Strecke zurücklegenden Kraftfahrzeugs wirkt.« Eine solche Angabe ist für die Praxis auch wesentlich besser, Berge sind nicht gleichmäßig und eine Strecke mit durchschnittlich 10 % Steigung könnte für einen voll beladenen LKW unüberwindbar sein, wenn es ein Teilstück mit 25 % Steigung gibt.

Im Übrigen sind 100 % Steigung keine Steilküste, sondern 45° Anstieg, denn es wird die Höhendifferenz zur horizontalen Strecke ins Verhältnis gesetzt, sprich 1 m vorwärts sind bei 100 % Steigung 1 m nach oben.

Vergleiche auch hierzu die Definition des Anstiegs bzw. des Anstiegsdreiecks bei linearen Funktionen.

Analog geht es bei Formulierungen der Art »x % weniger« oder »ein Rabatt/Nachlass von x %« oder »eine Senkung/Minderung um x %« darum, dass von einem Grundwert G ein Anteil dessen abgezogen wird. Als Formel für den neuen Wert N ergibt sich damit:

N = G - x \cdot G = G \cdot (100 % - x) = G \cdot (1 - \frac{x}{100})

Der neue Wert wird also mit einem Faktor kleiner eins bzw. kleiner 100 % multipliziert und ist daher auch kleiner als der Grundwert.

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»Bei Zahlung der Rechnung binnen 3 Tagen erhalten Sie 4 % Skonto.«

Der Begriff Skonto bezeichnet im Finanzwesen einen Rabatt, der bei vorzeitiger Zahlung gewährt wird. Häufig gilt für Rechnungen ein Zahlungsziel von 14 Tagen. Damit der Verkäufer aber schneller sein Geld bekommt, verzichtet er auf einen Teil seines Gewinns und gewährt dem Schnellzahler einen Preisnachlass.

Für eine Rechnung von 280€ wird dem Kunden ein Rabatt von 280€⋅0,04=280€⋅4 %=11,20€ gewährt, wenn er die Rechnung binnen 3 Tagen begleicht. Er in diesem Zeitraum also nur 280€⋅0,96=280€⋅96 %=268,80€ überweisen.

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»Die Anzahl der Aufträge ist im laufenden Quartal um 2 % gesunken.« Somit beträgt die gegenwärtige Auftragslage nur noch 98 % im Vergleich zum Ende des letzten Quartals. Waren es also 12 850 Aufträgen im letzten Quartal, so sind es im laufenden Quartal nur 12 850⋅98 %=12 850⋅0,98=12 593 Aufträge.

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»Mit der neuen Verpackung können 20 % Material eingespart werden.« Für die neue Verpackung werden also nur noch 80 % der Rohstoffe benötigt. Bei einem Gewicht von 10 g der alten Verpackung werden für die neue nur noch 8 g benötigt.

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»Auch in diesem Jahr mussten wir wieder einen Rückgang des Fischbestandes um 3 % verzeichnen.« Wenn der Fischbestand zurückgeht[^](… läuft er nicht rückwärts, sondern nimmt ab; vgl. zurückgehen und zurück gehen), ist der Bestand danach geringen, sprich nur noch 97 %.

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»Mit der neuen Rezeptur wird eine Reduktion des Zuckergehalts um 20 % angestrebt.« Der neue Zuckergehalt beträgt also 80 %.

Bei solchen Formulierungen in der Werbung muss man vorsichtig sein, weil sie oft etwas anderes suggerieren als es tatsächlich ist: »Neue Rezeptur – Zuckergehalt um 20 % gesenkt.« gegenüber »Neue Rezeptur – Zuckergehalt auf 20 % gesenkt.« Im ersten Fall wurde der Zuckergehalt auf 80 % gesenkt und im zweiten Fall wurde er um 80 % gesenkt. Oft werden auch Rabatte mit diesem kleinen, feinen Unterschied beworben.

Allgemein kann man sagen, dass die Formulierung »Veränderung um x %« die Differenz – also plus oder minus – zu 100 % angibt.

Formulierungen mit zu

Etwas tückisch sind Formulierungen, in denen das Verhältnis als »a zu b« (Schreibweise: a:b) formuliert wird, da hierbei die Bezugsgröße die Summe beider Zahlen ist.

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Beim Spielergebnis von 1:1 wurden 2 Tore erzieht, sodass jede Mannschaft 50 % der Tore geschossen hat. Bei einem Mischungsverhältnis von 2:3 für Zucker und Mehl nimmt man 2 Teile Zucker und 3 Teile Mehl. In Summe hat man 5 Teile, sodass 2/5=40 % Zucker und 3/5=60 % Mehl.

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»Reis sollte man im Verhältnis 1:4 kochen.« Das heißt für 1 Tasse Reis benötigt man 4 Tassen Wasser und im Topf muss für 5 Tassen Platz sein.

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Bei einem Seitenverhältnis 1:2 ist die zweite Seite doppelt so lang wie die erste und macht von der Gesamtstrecke ⅔ aus.

Achtung: Bei Maßstäben für Landkarten oder im Modellbau wird oft das Verhältnis als 1 zu n (1:n) angegeben. Hierbei handelt es sich um das echte Verhältnis, sprich 1 cm auf der Karte entsprechen n cm in Wirklichkeit. Ebenso entspricht bei einem Maßstab von 1:120 für die TT-Modellbahn 1 cm an der Modelllok 120 cm an der realen Lok. – die Welt ist leider nicht so schön eindeutig wie die Mathematik. 😉

@aufg()

Laut Verpackungsaufdruck sollen Nudeln in Salzwasser im Verhältnis 1:10 gekocht werden. Wenn man 40 % einer Packung mit 500 g entnimmt, wie viel Wasser benötigt man zum Kochen?

Wenn man annimmt, dass bei der Verdrängung die Nudeln dem Wasser etwa 1:1 entsprechen, wie viel Prozent bezogen auf die Wassermenge muss man für den Topf einplanen?

Wenn jedoch 1 l Nudeln nur 500 ml Wasser verdrängen, wie groß müsste dann der Topf bezogen auf die Wassermenge sein?

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Gesucht ist die Wassermenge. Um diese bestimmen zu können, benötigt man laut dem ersten Satz die Menge der Nudeln. Diese kann man aus der Angabe im zweiten Satz bestimmen: 0,4⋅500 g=200 g. Da die Wassermenge das Zehnfache betragen soll, sind also 2 l Wasser notwendig.

In dem Topf landen am Ende 10 Teile Wasser und 1 Teil Nudeln. Wenn die Nudeln dem Wasser im Verhältnis 1:1 entsprechen, sind am Ende 11 Teile im Topf. Der Topf muss also mindestens 110 % der Wassermenge aufnehmen können.

Wenn die Nudeln nur halb soviel Wasser verdrängen, dann sind in dem Topf nur 10,5 Teile. Somit muss der Platz nur für 105 % der Wassermenge reichen.

@aufg()

Eine erwachsene Person isst zu einer Mahlzeit etwa 150 g Spargel. Drei Kinder essen etwa so viel wie zwei Erwachsene. Wie viel Spargel benötigt man für die Mahlzeit einer Familie mit zwei Erwachsenen und zwei Kindern?

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Für die Erwachsenen benötigt man 2⋅150 g=300 g Spargel. Wenn drei Kinder zwei Erwachsenen entsprechen und zwei Erwachsene 300 g Spargel essen, kann man mit dem Dreisatz die Menge für zwei Kinder bestimmen: x/2=300 g/3 ⇒ x=2⋅300 g/3 = 200 g. In Summe werden also 500 g Spargel benötigt.

Ebenfalls kann man rechnen, dass das Verhältnis von Erwachsenen zu Kindern ⅔ beträgt. Somit isst ein Kind ⅔⋅150 g=100 g Spargel. Für zwei Kinder benötigt man also 200 g Spargel.

@aufg()

Ziel: Bewusstsein für den Zuckergehalt in Süßgetränken schaffen

In Deutschland enthalten Süßgetränke einen sehr hohen Anteil an Zucker; meist um die 10 %. In England wurde dieser Durchschnittsgehalt durch die Einführung einer Zuckersteuer gesenkt. Aber jeder selbst kann den Zuckergehalt durch Beimischen von Wasser senken.

In welchem Verhältnis muss man ein Süßgetränk mit 10 % Zuckeranteil mit Wasser verdünnen, um bei einem Glas mit 250 ml auf einen Anteil von 2 % zu kommen?

Vergleiche daheim den Zuckergehalt laut Nährwerttabelle bei verschiedenen Süßgetränken und probiere aus, ob ein auf diese Weise verdünntes Getränk noch schmeckt oder nicht.

@spoiler

Bei dieser Aufgabe muss man den Text am besten von hinten beginnen: Wenn in 200 ml 2 % Zucker seien sollen, dann sind dies 200⋅0,02=4 ml. Wenn diese 4 ml wiederum den 10 % im Süßgetränk entsprechen, so muss das Süßgetränk 40 ml ausmachen. Es fehlen also zu 200 ml noch 160 ml und somit beträgt das Mischungsverhältnis 1:4. In dem verdünnten Getränk befindet sich also nur noch ein Fünftel des Süßgetränks.

Formulierungen mit jeder

In Texten gibt es auch Angaben wie »jeder x. Mensch/Teilnehmer«. Dies bedeutet, dass unter x Teilnehmern einer für etwas ist und (x-1) dagegen. Die Gesamtmenge sind dann x Personen und einer davon hat das Verhältnis 1/x.

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Wenn also jeder Fünfte an einer Umfrage teilnahm, haben vier Leute nicht teilgenommen und die Teilnehmerquote beträgt 1/5=20 %. Wenn sich jeder Zehnte besseres Wetter wünscht, ist dies einer von zehn und somit wünschen sich 10 % schöneres Wetter. Analog sind jeder Zweite 50 % und jeder Achte 12,5 %.

Angaben wie jeder Zweikommafünfte macht man nicht. Hierzu sagt man dann eher »zwei von fünf«, da Menschen sich besser ganzen Zahlen vorstellen können.

@aufg()

»Formuliere die Angaben aus dem folgenden Zitat als Prozentwerte: ›Rund zwei Drittel der Menschen glauben, von diesen Gruppen belogen zu werden, und jeder Zweite, dass sie zur Spaltung der Gesellschaft beitragen. Dagegen wünschen sich mehr als acht von zehn Befragten, dass Führungskräfte aus der Wirtschaft den Wandel maßgeblich gestalten.‹«

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zwei Drittel sind 66,6 %

jeder Zweite sind 50 %

acht von zehn sind 80 %

Zinsrechnung

Die Zinsrechnung ist die Anwendung der Rechnung mit Verhältnissen auf Geldbeträge. Hierfür haben sich einige andere Begriffe etabliert, der Umgang damit ist jedoch der gleiche wie bei Verhältnissen.

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Als Zinsbetrag oder kurz Zinsen bezeichnet man den Betrag, der am Ende des Zeitraums zusätzlich erhält (Sparzins) oder zahlen muss (Kreditzins). Daraus ergibt sich der Zinssatz Z als Verhältnis von Zinsbetrag B und Grundkapital G: Z=B/G. Als den Kapitalwert bezeichnet man die Summe aus Grundkapital und Zinsen: K=G+Z.

Exkurs: Im Finanzwesen kommt es auch dazu, dass man Prozente von Prozenten angibt. Wenn zum Beispiel der Leitzins (Zinssatz der Bundesbank) um 10 % steigt, könnte dies bedeuten, dass er von 1 % auf 11 % geht oder von 1 % auf 1,1 %. Um diese Fälle klar zu unterscheiden, spricht man bei einer Veränderung der Zahlen von Prozentpunkten. Bei einem Anstieg von 10 % ändert sich der Leitzins von 1 % um 0,1 Prozentpunkte. Dieser Begriff taucht gelegentlich in Börsennachrichten auf.

Analog zu den Beziehungen bei den Verhältnissen ergibt sich auch für die Zinsen durch Umstellen: B=Z·G und G=B/Z.

Da der Kapitalwert der Zuwachs des Grundkapitals um x % des Zinssatzes ist, gilt hier analog zum Abschnitt Formulierungen mit mehr und weniger:

K = G + Z = G + Z \cdot G = G \cdot (1 + Z)

Verleiht man das Grundkapital (ohne die erhaltenen Zinsen) mehrfach nacheinander, so erhält man wiederholt Zinsen. Bei einer t-fachen Wiederholung ergibt sich danach ein Kapitalwert von K=G·t·(1+Z).

Zinsen für Anteile

Zur besseren Vergleichbarkeit von Angaben werden Zinssätze in der Regel auf ein Jahr bezogen. Um dies explizit zu kennzeichnen, schreibt man hinter den Zinssatz den Zusatz p. a. (lat. pro anno oder umgangssprachlich per annum); Beispiel: 6 % p. a.

Zinsen können aber auch für Anteile eines Jahres berechnet werden, wenn zum Beispiel Sparzinsen jeden Monat oder jedes Quartal (alle 3 Monate) gezahlt werden sollen. Da die Monate nicht gleich lang sind, hat man für das Finanzwesen festgelegt, dass jeder Monat 30 Tage und das Jahr 360 Tage hat. Dies ist eine willkürliche Festlegung, die aber die Rechnung wesentlich erleichtert und eine gewisse Fairness herstellt.

Würde man jetzt fälschlicher Weise den Jahreszinssatz auf einen Monat anwenden, würde man über das Jahr gerechnet zu viel zahlen. Bei 5 % p. a. und 100€ hätte man Anspruch auf 5€ pro Jahr. Würde man aber nach jedem Monat diese Rechnung anstellen und 5€ zahlen, hätte man am Ende 60€ statt den gewollten 5€ ausgezahlt. Daher muss der Zinsbetrag B' bei unterjähriger Zahlung auf den Anteil zum Gesamtjahr reduziert werden. Mathematisch heißt dies bei einer Zahlung alle m Monate oder alle t Tage:

B^{'} = \frac{m}{12} \cdot Z \cdot G = \frac{t}{360} \cdot Z \cdot G

Für den anteiligen Zinssatz Z' ergibt sich:

Z^{'} = \frac{B^{'}}{G} = \frac{\frac{m}{12} \cdot Z \cdot G}{G} = \frac{m}{12} \cdot Z

Der Zinssatz Z' bei einer Berechnung für einen Anteil des Jahres ist also der Anteil des Jahreszinssatz Z. Beträgt der Zinssatz für das gesamte Jahr zum Beispiel 4 %, so muss ein Zeitraum von einem halben Jahr mit $six-twelfths dot 4 percent-sign equals 2 percent-sign$ verzinst werden.

Analog gilt diese Beziehung auch für Tage:

Z^{'} = \frac{B^{'}}{G} = \frac{\frac{t}{360} \cdot Z \cdot G}{G} = \frac{t}{360} \cdot Z

@bsp()

Wenn ein Betrag von 900 € auf einem Tagesgeldkonto mit 4 % p. a. täglich verzinst wird, erhält der Inhaber jeden Tag eine Gutschrift von $\frac{1}{360} \cdot 4 % \cdot 900 € = 10 €$

In Wirklichkeit werden die Zinsen bei einem Tagesgeldkonto erst am Ende des Monats oder Ende des Quartals gutgeschrieben, aber im Hintergrund berechnet die Bank für jeden Tag, wie viel Geld auf dem Konto lag, wie viel Zinsen für diesen Tag fällig sind und addiert diese zum Monats- oder Quartalsende zusammen.

Zinseszins

An dem Beispiel mit dem Tagesgeldkonto kann man den Fehler in dieser einfachen Rechnung entdecken: Wenn die Zinsen täglich dem Konto gutgeschrieben würden und in die nächste Zinsberechnung einfließen würden, würde die Bank über das Jahr gesehen mehr Zinsen zahlen, als der Jahreszinssatz angibt.

Um uns die Problematik zu veranschaulichen, nehmen wir zur Vereinfachung an wir verzinsen vierteljährlich und der Jahreszinssatz beträgt 4 % p. a.. Auf einen Betrag von 1000€ würden also nach dem 1. Quartal 10€ Zinsen gezahlt, sodass das neue Guthaben 1010€ beträgt. Dieses wird nach dem 2. Quartal wieder mit 1 % verzinst und das neue Guthaben wären 1010€⋅1,01=1020,10€. Nach weiteren 90 Tagen wird dieses Kapital dann erneut verzinst und es käme zum neuen Guthaben von 1020,10€⋅1,01=1030,301€. Am Jahresende erfolgt dann die letzte Verzinsung zu 1 % und das Guthaben am Ende des Jahres wäre dann 1030,301€⋅1,01=1040,401€. Die Bank hätte also 40,1¢ zu viel bezahlt.

Schaut man sich die Kapitalentwicklung als gesamte Formel an, sieht man, dass sich für das Kapital K nicht die erwartete Formel K=G⋅(1+Z) ergibt, sondern

\begin{aligned} K_{4} & = K_{3} \cdot (1 + Z) \\ = (K_{2} \cdot (1 + Z)) \cdot (1 + Z) \\ = ((K_{1} \cdot (1 + Z)) \cdot (1 + Z)) \cdot (1 + Z) \\ = (((K_{0} \cdot (1 + Z)) \cdot (1 + Z)) \cdot (1 + Z)) \cdot (1 + Z) \end{aligned}

K_{n}

ist hierbei das Kapital am Ende des n-ten Quartals, wobei K₀ das Grundkapital G von 1000€ und K₄ das Kapital K von 1040,401€ am Ende des Jahres ist. Lässt man Klammern weg und schreibt die wiederholte Multiplikation mit Exponentenschreibweise, so erhält man die Formel für die Zinsberechnung:

K = G \cdot (1 + Z) \cdot (1 + Z) \cdot (1 + Z) \cdot (1 + Z) = G \cdot (1 + Z)^{4}

@def()

Bei mehrfacher Verzinsung versteht man unter Zinseszins die Einbeziehung der bisherigen Zinsen in die nächste Zinsberechnung. Bei einer n-fachen Wiederholung der Verzinsung ergibt sich somit ein Kapital von

$K = G \cdot (1 + Z)^{n}$

Dieses Ergebnis unterscheidet sich von der mehrfachen Verzinsung ohne Berücksichtigung der bisherigen Zinsen: K=G⋅n⋅(1+Z). Daher ist es wichtig, zu unterscheiden, ob die Zinsen wieder einfließen oder nicht.

Exkurs: Für Aktienfonds gibt es eine ähnliche Unterscheidung. Hier werden die Zinsen als Dividende bezeichnet. Einen Aktienfonds, der am Ende des Jahres die Dividende einbehält und im neuen Jahr mit anlegt, nennt man thesaurierend. Aktienfonds, die am Ende des Geschäftsjahres die Dividende auszahlen, nennt man nicht thesaurierend.

Für das ursprüngliches Problem der vierteljährlichen Verzinsung mit Einbeziehung der Zinsen ergibt sich also aus der neuen Formel, dass Zinssatz für ein Quartal:

\begin{aligned} K & = G \cdot (1 + Z)^{4} \\ \frac{K}{G} & = (1 + Z)^{4} \\ \sqrt[4]{\frac{K}{G}} & = 1 + Z \\ Z & = \sqrt[4]{\frac{K}{G}} - 1 \end{aligned}

Würde das Guthaben inklusive Zinsen auf dem Konto also jedes Quartal mit einem (anteiligen) Zinssatz Z' von 0,985 % verzinst, so ergäben sich bei dem Grundkapital von 1000€ nach einem Jahr wirklich die bei einem Zinssatz von 4 % p. a. erwarteten 1040€.

Z^{'} = \sqrt[4]{\frac{1040 €}{1000 €}} - 1 \approx 0,985 %

Allgemein berechnet sich der anteilige Zinssatz Z' aus dem Zinssatz Z als:

Z^{'} = \sqrt[n]{\frac{K}{G}} - 1 = \sqrt[n]{\frac{G \cdot (1 + Z)}{G}} - 1 = \sqrt[n]{1 + Z} - 1

Potenzgesetze

Ein kurzer Rückblick auf die Bedeutung der Multiplikation: Mathematiker lieben die Kürze und haben allerlei Symbole und Schreibweisen erfunden, um sich Schreibarbeit zu ersparen. Die einfachste Rechenoperation ist die Addition. Wenn man Summen von gleichen Summanden bilden muss, kann man dies auch verkürzt durch eine Multiplikation schreiben:

\underset{n -mal}{\underset{⏟}{a + a + \dots + a}} = n \cdot a

Die Schreibweise n⋅a ist also nicht anderes als eine abgekürzte Schreibung der wiederholten Addition von a mit sich selbst. Aus dieser Definition lassen sich dann auch die Gesetze für die Multiplikation wie die Vertauschbarkeit der Faktoren herleiten. Als Umkehroperation für die Multiplikation ist die Division definiert, die eben das Entfernen von Teilen der Summe vornimmt.

Auf die gleiche Weise kommt es zu den Potenzgesetzen, da Mathematiker keine Lust haben, immer wieder a⋅a⋅…⋅a zu schreiben. Also ist festgelegt, dass diese mehrfache Multiplikation durch einen Exponenten gekennzeichnet wird, der angibt, wie oft Multipliziert wird:

ModifyingBelow a dot a dot ellipsis dot a With bottom-brace Underscript n hyphen mal Endscripts equals a Superscript n

Anhand dieser Schreibweise lässt sich auch gut nachvollziehen, warum $a Superscript 1 Baseline equals a$ ist. Etwas genauer muss man sich den Fall $a Superscript 0 Baseline equals 1$ betrachten. Dieser bedeutet ja, dass man ein Produkt bildet, in dem null mal (also gar nicht) a vorkommt. Damit am Ende überhaupt etwas steht, muss 1 das Ergebnis sein, denn jedes Produkt kann man beliebig oft mit Eins multiplizieren, ohne dessen Wert zu verändern. Dabei gibt es einen Spezialfall: für 0⁰ ist jedes Ergebnis möglich und hängt sehr von der Aufgabe ab. Im Rahmen der Schulmathematik gilt 0⁰ als nicht lösbar.

Damit man nicht immer diese Schreibweise in ihre Langform umwandeln muss, um damit rechnen zu können, wurden die Potenzgesetze hergeleitet:

\begin{aligned} a^{n} \cdot a^{m} & = \underset{n \cdot m -fach a}{\underset{⏟}{\underset{n -mal}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}} \cdot \underset{m -mal}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}}}} = a^{n + m} \\ a^{n} \cdot b^{n} & = \underset{n -mal}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}} \cdot \underset{n -mal}{\underset{⏟}{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}} = \underset{n -mal}{\underset{⏟}{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot \dots \cdot (a \cdot b)}} = (a + b)^{n} \\ \frac{a^{n}}{a^{m}} & = \frac{\overset{n -mal}{\overset{⏞}{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}}}{\underset{m -mal}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}}} = \frac{\overset{n - m -mal nach Kürzen}{\overset{⏞}{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}}}{1} = a^{n - m} \\ \frac{a^{n}}{b^{n}} & = \frac{\overset{n -mal}{\overset{⏞}{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}}}{\underset{n -mal}{\underset{⏟}{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}}} = {(\frac{a}{b})}^{n} \\ {(a^{n})}^{m} & = \underset{m -mal}{\underset{⏟}{\underset{n -mal}{\underset{⏟}{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}} \cdot (a \cdot a \cdot \dots \cdot a) \cdot \dots \cdot (a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}} = a^{n \cdot m} \end{aligned}

Potenzgesetze gibt es nur für die Fälle, bei denen mindestens die Basis oder der Exponent gleich sind. Wenn Basis und Exponent verschieden sind – also $a^{n} \cdot b^{m}$ –, gibt es keine Regel zum Vereinfachen.

Die Potenzgesetze kann man auch als Sprüche formulieren, um sie sich besser einprägen zu können:

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.
Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert.
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.
Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert.
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.

Wurzelziehen

Genauso wie die Division zur Multiplikation die Umkehroperation (die Operation zum Rückgängigmachen bzw. Aufheben) ist, gibt es auch für das Potenzieren eine Umkehrung: Wurzelziehen oder Radizieren.

Zur Herleitung: Am Ende möchte man eine Operation haben, die aus $a^{n}$ wieder a erzeugt. Für die Überlegung startet man also mit a und baut es so lange um, bis man das Ziel erreicht hat.

\begin{aligned} a & = a^{1} & 1 als Exponent ist immer möglich \\ = a^{\frac{n}{n}} & 1 kann man immer als Bruch n durch n schreiben \\ = a^{n \cdot \frac{1}{n}} & Zähler und Nenner trennen \\ = {(a^{n})}^{\frac{1}{n}} & Gesetz zu Potenz von Potenz \\ = \sqrt[n]{a^{n}} & Wurzelschreibweise \end{aligned}

Damit man nicht immer mit Brüchen im Exponenten arbeiten muss, hat man die Schreibweise mit einer Wurzel eingeführt, die eben bedeutet

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

Anschaulich gesprochen, ist für eine Zahl a die Wurzel $b = \sqrt[n]{a}$ jene Zahl, die durch n-faches multiplizieren mit sich selbst a ergibt:

b \cdot b \cdot \dots \cdot b = b^{n} = a

Mit dieser textuellen Beschreibung wird auch verständlich, weshalb es keine Wurzel zweiten Grades (oder für jeden anderen geraden Exponenten) geben kann: Wenn es eine solche Zahl b gäbe, müsste das Produkt b⋅b eine negative Zahl ergeben. Dies ist aber nicht möglich, da das Produkt einer Zahl mit sich selbst (das Quadrat der Zahl) nie negativ ist.

Logarithmus

Ähnlich wie bei der Wurzel die Frage nach der Ausgangszahl für die Potenz gestellt wird, kann man auch fragen: Wo oft muss eine Zahl mit sich selbst multiplizieren werden, um auf eine bestimmte Potenz zu kommen? Oder etwas mathematischer formuliert: Wie kommt man bei $a^{n}$ auf den Exponenten n? Die Funktion für diese Berechnung nennt man Logarithmus.

Der Logarithmus einer Zahl p zur Basis b gibt an, wie oft die Zahl b mit sich selbst multipliziert werden muss, um die Potenz p zu erreichen:

\log_{b} p = n sodass b^{n} = p

Da einige Basen sehr häufig genutzt werden, hat man hierfür Abkürzungen eingeführt:

Logarithmus dualis – Log. zur Basis 2: $ld p equals log Subscript 2 Baseline p$
Logarithmus naturalis/natürlicher Log. – Log. zur Basis e: $\ln p := \log_{e} p$
Dekadischer Logarithmus – Log. zur Basis 10: $log base 10 p equals log Subscript 10 Baseline p$

Zum Rechnen mit Logarithmen gibt es auch Gesetze zur Erleichterung:

der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren: $\log_{b} (p \cdot q) = \log_{b} (p) + \log_{b} (q)$
der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen von Dividend und Divisor: $\log_{b} (p \cdot q) = \log_{b} (p) + \log_{b} (q)$

Exkurs: Mit genau diesen Rechenregeln hat man sich früher in Zeiten ohne Taschenrechner die Multiplikation großer Zahlen erleichtert. Wenn man zum Beispiel für astronomische Berechnungen ein solche Produkt bilden musste, hat man den Logarithmus beider Zahlen in einer Tabelle nachgeschlagen, diese Zahlen addiert (eine Addition ist wesentlich leichter als die Multiplikation) und dann diese Zahl anhand der Tabelle zurücktransformiert.

Hinter diesem Vorgehen steckt ein sehr geschicktes Vorgehen, dass auch an anderen Stellen in der Mathematik zum Einsatz kommt: Anstatt ein schwieriges Problem (Multiplikation großer Zahlen) direkt zu lösen, überführt man die Aufgabenstellung in ein anderes System (Exponenten bzw. Logarithmen), berechnet dort das stellvertretende Problem und transformiert die gefundene Lösung zurück in das Ausgangssystem.

In der Mathematik (und Informatik) gibt es viele solcher coolen Tricks, um sich die Arbeit zu erleichtern. Selbst in der heutigen Zeit mit Supercomputern kommen solche Verfahren noch zur Erleichterung von Berechnungen in Programmen zum Einsatz.